Question

如图，?ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF，若BC=7，DF=3，tan∠AEB=3，则GF的长为

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：首先延长AE、DC相交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，进而得出FC的长，再利用勾股定理得出EH的长，即可得出FG的长．

解答：解：延长AE、DC相交于点M，过点A作AH⊥BC于点H，连接AC，
∵AB∥DM，
∴∠M=∠BAE，∠CEM=∠DAM，
而∠BAE=∠DAM，
∴∠M=∠CEM=∠DAM，
∴CE=CM，DM=AD=7，
∵∠M+∠MFE=90°=∠CEM+∠CEF，
∴∠MFE=∠CEF，
∴CF=CE=CM=

1

2

FM=

1

2

（MD-DF）=2，
∴AB=DC=DF+CF=5，BE=BC-CE=5，
设EH=x，由

AH

EH

=tan∠AEB=3，
可得：AH=3x，在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²，
故5²=（3x）²+（5-x）²，
解得：x=1，
则EH=1，AH=3，
故CH=CE+EH=3，
则AC=

AH2+CH2

=3

2

，
而四边形ACFG是平行四边形，
故FG=AC=3

2

．
故答案为：3

2

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．