Question

20．如图，矩形ABCD中，AB=6，CB=18，若将矩形折叠使B与D重合，则折痕EF的长为2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 首先由折叠的性质知BE=ED，∠BEH=∠DEH，可得△BDE是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得BH=HD，BD⊥EF，再在Rt△ABD中，利用勾股定理算出BD的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE的长，进而得到ED的长，再次利用勾股定理计算出EH的长，然后证明△BHF≌△DHE，继而得到HF=EH，从而得到EF的长．

解答 解：连接BD，交EF于点H，
由折叠的性质知，BE=ED，∠BEH=∠DEH，
则△BDE是等腰三角形，
∵∠BEH=∠DEH，
∴BH=HD，BD⊥EF（顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线），
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{36+324}$=6$\sqrt{10}$，
∵BH=DH，
∴DH=$\frac{1}{2}$DB=3$\sqrt{10}$，
设AE=x，则DE=BE=18-x，
在Rt△ABE中：AE²+AB²=BE²，
则x²+6²=（18-x）²，
解得：x=8，
则ED=18-8=10，
在Rt△EDH中：EH²+DH²=ED²，
EH=$\sqrt{E{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵BD⊥EF，
∴∠BHF=∠EHD=90°，
∵AD∥CB，
∴∠EDH=∠HBF，
在△BHF与△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHF=∠EHD}\\{BH=DH}\\{∠EDH=∠HBF}\end{array}\right.$，
∴△BHF≌△DHE，
∴HF=EH=$\sqrt{10}$，
∴EF=2$\sqrt{10}$．
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 此题主要考查了折叠的性质，以及勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．