Question

2．已知：如图，△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，垂足是D，点E是线段CD上一点，AE的延长线交BC于F．过B作AC的平行线交AE的延长线于G．
（1）求证：∠G=∠CBE；
（2）若AE=2EF，那么GF和EF有何数量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）若AE=nEF（其中n＞1），那么GF和EF又有何数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠BCD，证明△ACE≌△BCE，得到∠CAE=∠CBE，根据平行线的性质得到∠CAE=∠G，等量代换得到答案；
（2）作FH∥AB交CD于H，根据平行线分线段成比例定理求出GF=FA，根据已知条件计算即可；
（3）与（2）的作法类似，结果用n表示即可．

解答 （1）证明：∵AC=BC，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD，AD=BD，
在△ACE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACE=∠BCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCE，
∴∠CAE=∠CBE，
∵BG∥AC，
∴∠CAE=∠G，
∴∠G=∠CBE；
（2）如图，作FH∥AB交CD于H，
∴$\frac{FH}{AD}$=$\frac{FE}{EA}$=$\frac{1}{2}$，又AD=BD，
∴HF=$\frac{1}{2}$DB，
∵FH∥AB，
∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{HF}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=BF，
∵BG∥AC，
∴$\frac{GF}{FA}$=$\frac{BF}{FC}$=1，
∴GF=FA，又AE=2EF，
∴GF=3EF；
（3）∵AE=nEF，
∴$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{n}$，
由（2）得，$\frac{CF}{CB}$=$\frac{HF}{BD}$=$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{CF}{FB}$=$\frac{1}{n-1}$，
∴$\frac{GF}{FA}$=n-1，
∵AE=nEF，
∴FA=（n+1）FE，
∴GF=（n²-1）EF．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理的应用，掌握等腰三角形的三线合一、相似三角形的判定定理是解题的关键．