Question

阅读下面材料，并解决问题：
（I）如图4，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5．则∠APB=

 

，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌

 

．这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
（II）（拓展运用）已知△ABC三边长a，b，c满足|a-6

2

|+c2-24c+144+

b-6 2

=0．
（1）试判断△ABC的形状

 

（2）如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，直接出点B，C的坐标

 

；
（3）如图2，过点C作∠MCN=45°交AB于点M，N．请证明AM²+BN²=MN²；
（4）在（3）的条件下，若点N的坐标是（8，0），则点M的坐标为

 

；此时MN=

 

．并求直线CM的解析式．
（5）如图3，当点M，N分布在点B异侧时．则（3）中的结论还成立吗？

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（Ⅰ）根据旋转的性质可得△ACP′和△ABP全等，根据全等三角形对应边相等可得P′A=PA，PB=P′C，∠PAP′=∠BAC，然后判断出△APP′是等边三角形，根据等边三角形每一个角都是60°可得∠AP′P=60°，再利用勾股定理逆定理求出∠PP′C=90°，然后根据∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C代入数据计算即可得解；
（Ⅱ）（1）根据非负数的性质列式求出a、b、c，再利用勾股定理逆定理判断出是直角三角形，从而得到△ABC是等腰直角三角形；
（2）根据c的值写出点B的坐标，再根据等腰直角三角形的性质求出点C的横坐标与纵坐标即可得解；
（3）把△ACM绕点C逆时针旋转90°得到△BCM′，连接M′N，根据旋转的性质可得AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′，∠ACM=∠BCM′，然后求出∠MCN=∠M′CN，∠M′BN=90°，再利用“边角边”证明△MCN和△M′CN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，然后利用勾股定理列式证明即可；
（4）设AM=x，表示出MN的长，然后根据（3）的结论列出方程求出x，再写出点M的坐标，以及MN的长，设直线CM的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（5）把△BCN绕点C顺时针旋转90°得到△ACN′，根据旋转的性质可得AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN，然后判断出点N′在y轴上，再求出∠MCN′=45°，从而得到∠MCN=∠MCN′，再利用“边角边”证明△MCN和△MCN′全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MN′，然后利用勾股定理列式即可得证．

解答：解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△ACP′≌△ABP，
∴P′A=PA=3，PB=P′C=4，∠PAP′=∠BAC=60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠AP′P=60°，PP′=PA=3，
在△P′PC中，P′P²+P′C²=3²+4²=25=PC²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°；
故答案是：150°，△ABP；

（Ⅱ）（1）整理得，|a-6

2

|+（c-12）²+

b-6 2

=0，
由非负数的性质得，a-6

2

=0，c-12=0，b-6

2

=0，
解得a=b=6

2

，c=12，
∵a²+b²=（6

2

）²+（6

2

）²=144=c²，
∴△ABC是直角三角形，
又∵a=b，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（2）∵AB=c=12，
∴点B（12，0），
过点C作CD⊥x轴于D，则AD=CD=

1

2

AB=

1

2

×12=6，
∴点C的坐标为（6，6）；

（3）如图，把△ACM绕点C逆时针旋转90°得到△BCM′，连接M′N，
由旋转的性质得，AM=BM′、CM=CM′、∠CAM=∠CBM′=45°，∠ACM=∠BCM′，
∴∠M′BN=∠ABC+∠CBN′=45°+45°=90°，
∵∠MCN=45°，
∴∠M′CN=∠BCN+∠BCM′=∠BCN+∠ACM=90°-∠MCN=90°-45°=45°，
∴∠MCN=∠M′CN，
在△MCN和△M′CN中，

CM=CM′ ∠MCN=∠M′CN CN=CN

，
∴△MCN≌△M′CN（SAS），
∴MN=M′N，
在Rt△M′NB中，BM′²+BN²=M′N²，
∴AM²+BN²=MN²；

（4）设AM=x，
∵点N的坐标是（8，0），
∴AN=8，BN=12-8=4，
∴MN=8-x，
由（3）的结论，x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
∴AM=3，MN=8-3=5，
∴点M的坐标（3，0）；
设直线CM的解析式为y=kx+b，
∵点C（6，6），M（3，0），
∴

6k+b=6 3k+b=0

，
解得

k=2 b=-6

，
∴设直线CM的解析式为y=2x-6；

（5）如图，∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
把△BCN绕点C顺时针旋转90°得到△ACN′，
由旋转的性质得，AN′=BN，CN′=CN，∠CAN′=∠CBN=135°，
∴∠MAN′=135°-45°=90°，
∴点N′在y轴上，
∵∠MCN=45°，
∴∠MCN′=90°-45°=45°，
∴∠MCN=∠MCN′，
在△MCN和△MCN′中，

CN′=CN ∠MCN=∠MCN′ CM=CM

，
∴△MCN≌△MCN′（SAS），
∴MN=MN′，
在Rt△AMN′中，AM²+AN′²=MN′²，
∴AM²+BN²=MN²．
故答案为：（Ⅰ）150°，△ABP；（1）等腰直角三角形；（2）B（12，0），C（6，6）；（4）（3，0），5．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了旋转的性质，非负数的性质，勾股定理逆定理，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，熟记各性质与全等三角形的判定方法是解题的关键．