Question

【题目】如图，直线y1＝2x与双曲线y2＝交于点A，点B，过点A作AC⊥y轴于点C，OC＝2，延长AC至D，使CD＝4AC，连接OD．

（1）求k的值；

（2）求∠AOD的大小；

（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）∠AOD＝90°；（3）﹣1＜x＜0或x＞1．

【解析】

（1）先求出A点坐标，然后代入y2＝，即可确定k的值；

（2）先求出AC＝1，CD＝4，AD＝5，由勾股定理求得OA2＝OC2+AC2＝22+12＝5，OD2＝OC2+CD2＝22+42＝20，再勾股定理的逆定理得到△AOD是直角三角形，即可证得∠AOD＝90°；

（3）先求出点B的坐标，然后根据图象解答即可．

解：（1）∵OC＝2，

∴C（0，2），

∵AC⊥y轴，

∴A的纵坐标为2，

将y＝2代入y1＝2x得，x＝1，

∴A（1，2），

将A（1，2）代入y2＝得，2＝，

∴k＝2；

（2）∵A（1，2），

∴AC＝1，

∴CD＝4AC＝4，

∴AD＝5，

∵OC⊥AD，

∴OA2＝OC2+AC2＝22+12＝5，OD2＝OC2+CD2＝22+42＝20，

∴OA2+OD2＝AD2＝25，

∴△AOD是直角三角形，

∴∠AOD＝90°；

（3）∵A（1，2），

∴B（﹣1，﹣2），

∴当y1＞y2时，x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1．