Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，点E是线段CD上一点，连接OE，将线段OE绕点O逆时针旋转60°得到线段OF，连接DF．

（1）求证：DF＝CE；

（2）连接EF交OD于点P，求DP的最大值；

（3）如图2，点E在射线CD上运动，连接AF，在点E的运动过程中，若AF＝AB，求OF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）OF＝1或．

【解析】

（1）证明△FOD≌△EOC（SAS），则可得出结论；

（2）证明△FDP∽△ODE，可得出，设DF＝CE＝x，则DE＝1﹣x，则 ，得出DP＝﹣x2+x＝，由二次函数的性质可得出答案；

（3）分情况讨论：①如图1，过点F作FM⊥AD于点M，证明△AOF是等边三角形，得出OF＝1；②过点A作AN⊥DF于点N，则∠FDA＝30°，证明△OAF≌△AOD（SAS），得出OF＝AD＝．

（1）证明：由题意知∠FOE＝∠DOC＝60°，

∴∠FOE﹣∠DOE＝∠DOC﹣∠DOE，即∠FOD＝∠EOC，

在矩形ABCD中，AC＝BD＝2OC＝2OD，

∴OC＝OD，

又∵OF＝OE，

∴△FOD≌△EOC（SAS），

∴DF＝CE；

（2）解：在△ODC中，OD＝OC，∠COD＝60°，

∴△OCD是等边三角形，∠OCD＝60°，

又△FOD≌△EOC，

∴∠FDO＝∠ECO＝60°，

在△OEF中，OE＝OF，∠EOF＝60°，

∴△OEF是等边三角形，∠OEF＝60°，

∴180°﹣∠FDP﹣∠FPD＝180°﹣∠OEP﹣∠OPE，即∠DFP＝∠DOE，

又∠FDP＝∠ODE＝60°，

∴△FDP∽△ODE，

∴，

设DF＝CE＝x，则DE＝1﹣x，

∴，

∴DP＝﹣x2+x＝，

∴DP的最大值为；

（3）解：①在矩形ABCD中，AB＝1，∠COD＝60°，

∴AD＝，∠OAD＝∠ODA＝30°，

∴∠FDA＝∠FDO﹣∠ODA＝30°，

如图1，过点F作FM⊥AD于点M，

设FM＝m，则MD＝m，AM＝-m，

又∵AF＝AB＝1，

∴在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，

∴，

∴m1＝，m2＝1（舍去），

∴sin∠FAM＝，

∴∠FAM＝30°，

∴∠FAO＝60°，且AF＝AB＝AO，

∴△AOF是等边三角形，

∴OF＝1；

②如图2，过点A作AN⊥DF于点N，则∠FDA＝30°，

∴∠DAN＝60°，AN＝ ，

∴cos∠FAN＝，

∴∠FAN＝30°，

∴∠FAO＝120°，

又∠AOD＝120°，

∴∠FAO＝∠AOD，

又AF＝AO＝OD，

∴△OAF≌△AOD（SAS），

∴OF＝AD＝．

综合以上可得，OF＝1或．