Question

【题目】如图1，，是的直径，点在上，连接，．

（1）求证：平分；

（2）如图2，连接，点在上，连接，与交于点，求证：；

（3）在（2）的条件下，点在上，连接，，，与交于点，若，，，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接，由，，，可证明≌，再根据全等三角形的性质，对应角相等，即可证明；

（2）根据同弧所对的圆周角相等，可知，由（1）知，得，又根据同圆半径相等，得，，由三角形外角等于不相邻两内角和可得，，进而得到，由此可以证明∥；

（3）过点作，，，根据，可知，设，，则，由，，易知为等腰三角形，由，可知，得AB=10a；再由，可得，，再在使用勾股定理，可求得；证明≌，可得，解Rt△CPF可得，则；由≌，，可得，；解，得，；解等腰和，得，再由即可求得的值．

解：（1）如图，连接，

∵，，，

∴≌，

∴，

∴平分；

（2）由（1）知，

∵弧所对的圆周角相等，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴∥；

（3）过点作，，，

∵，

∴，

∴在中，，

设，，则，

∵，

∴，．

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵∥，

∴，

∴，

∴，，，

在中，

∵，

∴，

∴，（舍），

∴，，

又∵，

∴≌，

∴，，

∴，

∴在中，，

∴，

∵，，

∴≌，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，

∴，

∴，

∴在中，，，

在中，，

设，，

∴，

∴，

∴，

∴．