Question

12．在平面直角坐标系中，正方形A₁B₁C₁D₁、D₁E₁E₂B₂、A₂B₂C₂D₂、D₂E₃E₄B₃、A₃B₃C₃D₃…按如图所示的方式放置，其中点B₁在y轴上，点C₁、E₁、E₂、C₂、E₃、E₄、C₃…在x轴上，已知正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…则正方形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的边长是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．

解答 解：∵正方形A₁B₁C₁D₁的边长为1，∠B₁C₁O=60°，B₁C₁∥B₂C₂∥B₃C₃…
∴D₁E₁=B₂E₂，D₂E₃=B₃E₄，∠D₁C₁E₁=∠C₂B₂E₂=∠C₃B₃E₄=30°，
∴D₁E₁=C₁D₁sin30°=$\frac{1}{2}$，则B₂C₂=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）¹，
同理可得：B₃C₃=$\frac{1}{3}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²，
故正方形A_nB_nC_nD_n的边长是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）^n-1．
则正方形A₂₀₁₆B₂₀₁₆C₂₀₁₆D₂₀₁₆的边长是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵．
故答案是：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹⁵．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．