Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（-4，0），点B坐标为（0，4），点E为射线BA上的动点（点E不与点A，B重合），抛物线上存在动点T，使得∠EOT=45°，C为y轴正半轴上一点，且OC=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$AB，抛物线y=-x²+mx+n的图线经过A，C两点．

（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）若点E的横坐标为-3，求点T的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得S_△ACP=2S_△ABC，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点C坐标，把A（-4，0）和C（0，6）代入y=-x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{-16-4m+n=0}\end{array}\right.$，解方程组即可．
（2）易知点E坐标（-3，1），作EG⊥OA于G，取点H（1，3），作HM⊥x轴于M，连接EH交抛物线于T，构造等腰直角三角形解决问题．求出直线EH，解方程组求出点T坐标即可．
（3）如图2中，由图象可知点P只有在直线AC下方，设点H（0，2），过点H作AC的平行线交抛物线于P₁，P₂．首先说明P₁，P₂满足条件，求出直线P₁P₂，解方程组即可解决问题．

解答 解：（1）∵点A坐标为（-4，0），点B坐标为（0，4），
∴OA=OB=4，AB=4$\sqrt{2}$，
∴OC=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$AB=6，
∴C（0，6），
把A（-4，0）和C（0，6）代入y=-x²+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{-16-4m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-$\frac{5}{2}$x+6．

（2）如图1中，

∵A（-4，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y=x+4，
∴x=-3时，y=1，
∴点E坐标（-3，1），作EG⊥OA于G，取点H（1，3），作HM⊥x轴于M，连接EH交抛物线于T．
∵EG=OM=1，OG=HM=3，∠EGO=∠HMO=90°，
∴△EOG≌△OHM，
∴EO=OH，∠EOG=∠OHM，
∴∠MOH+∠MHO=90°，
∴∠EOG+∠HOM=90°，
∴∠EOH=90°，
∴∠OEH=∠EHO=45°，
∵E（-3，1），H（1，3），
∴直线EH的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}}\\{y=-{x}^{2}-\frac{5}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{23}}{2}}\\{y=\frac{13+\sqrt{23}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{23}}{2}}\\{y=\frac{13-\sqrt{23}}{4}}\end{array}\right.$，
∵T在第二象限，
∴T（$\frac{3+\sqrt{23}}{2}$，$\frac{13+\sqrt{23}}{4}$）．

（3）如图2中，由图象可知点P只有在直线AC下方，设点H（0，2），过点H作AC的平行线交抛物线于P₁，P₂．

∵S_△ACH=2S_△ABC，
∴${S}_{△{P}_{1}AC}$=${S}_{△{P}_{2}AC}$=2S_△ABC，
∵直线AC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+6，
∴直线P₁P₂的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+2}\\{y=-{x}^{2}-\frac{5}{2}x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+2\sqrt{2}}\\{y=-1+3\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2-2\sqrt{2}}\\{y=-1-3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴满足条件的点P坐标为（-2+2$\sqrt{2}$，-1+3$\sqrt{2}$）或（-2-2$\sqrt{2}$，-1-3$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题、待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用思想知识解决问题，学会取特殊点，添加辅助线构造全等三角形，学会构造平行线利用同底等高的三角形面积相等解决问题，属于中考压轴题．