Question

【题目】已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C．

（1）抛物线的顶点坐称为　 　，点C坐标为　 　；（用含m的代数式表示）

（2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0．

①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标；

②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；

（3）若点A（﹣3，2）、B（2，2），连结AB，当抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与线段AB只有一个交点时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（m，﹣2），（0，m2﹣2），（2）①P1（1，﹣2），P2（3，2）；②；（3）m的取值范围为﹣5≤m＜﹣1或0＜m≤4．

【解析】

（1）当x＝0时，求出y的值，即可写出点C坐标，将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2化为顶点式即可写出顶点坐标；

（2）①当m＝1时，先求出抛物线的解析式，再分别将y＝±2代入解析式即可求出点P坐标；

②用含n的代数式表示出点P的坐标，分点P在y轴左侧，在y轴右侧且在对称轴左侧和右侧三种情况讨论，直接求出最高点与最低点的纵坐标之差即可；

（3）分两种情况讨论，当m＜0，抛物线经过线段的最左端点时，求出m的值并画出图象即可由图象看出m的取值范围；当m≥0，抛物线经过线段的最右端点B时，求出m的值并画出图象即可由图象看出m的取值范围．

（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣2

＝（x﹣m）2﹣2，

∴顶点坐标为（m，﹣2），

在y＝x2﹣2mx+m2﹣2中，

当x＝0时，y＝m2﹣2，

∴点C坐标为（0，m2﹣2），

故答案为：（m，﹣2），（0，m2﹣2）；

（2）①当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣1，

∴P（n，n2﹣2n﹣2），

令n2﹣2n﹣1＝﹣2，

解得，n1＝n2＝1，

∴P1（1，﹣2）；

令n2﹣2n﹣1＝2，

解得，n1＝3，n2＝﹣1（n＞0，舍去），

∴P2（3，2），

综上：P1（1，﹣2），P2（3，2）；

②在y＝x2﹣2x﹣1中，对称轴为，

当时，，

∴顶点坐标为，

∵点P的横坐标为n，

∴点P的横坐标为，

如图，当点P在y轴左侧，即时，

；

当在y轴右侧且在对称轴左侧，即时，

；

当在对称轴右侧，即时，

；

综上：

（3）①当m＜0，抛物线经过线段的最左端点A（﹣3，2）时，

（﹣3﹣m）2﹣2＝2，

解得，m1＝﹣5，m2＝﹣1，

∴对应抛物线的图象如图1，图2所示，

由图象可以看出当﹣5≤m＜﹣1时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与线段AB只有一个交点；

②当m≥0，抛物线经过线段的最右端点B（2，2）时，

（2﹣m）2﹣2＝2，

解得，m1＝4，m2＝0，

∴对应抛物线的图象如图3，图4所示，

由图象可以看出当0＜m≤4时，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与线段AB只有一个交点；

综上所述：m的取值范围为﹣5≤m＜﹣1或0＜m≤4．