Question

7．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS证△DCE≌△BFE；
（2）在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，知BC=2$\sqrt{3}$，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30°，知CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以BE=BC-EC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
根据折叠的性质∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，
∴∠DBC=∠BDF，
∴BE=DE，
在△DCE和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠DEC}\\{∠F=∠C}\\{BE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△BFE；

（2）在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ECD中，
∵CD=2，∠EDC=30°，
∴DE=2EC，
∴（2EC）²-EC²=CD²，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=BC-EC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键．