Question

15．已知二次函数y=ax²的图象经过点（2，1）．
（1）求二次函数y=ax²的解析式；
（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax²的图象交于点A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂）两点．
①当m=$\frac{3}{2}$时（图①），求证：△AOB为直角三角形；
②试判断当m≠$\frac{3}{2}$时（图②），△AOB的形状，并证明；
（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）

Answer 1

分析 （1）把点（2，1）代入可求得a的值，可求得抛物线的解析式；
（2）①可先求得A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，结合条件可证明△ACO∽△ODB，可证明∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；②可用m分别表示出A、B两点的坐标，过A、B两点作x轴的垂线，表示出AC、BD的长，可证明△ACO∽△ODB，结合条件可得到∠AOB=90°，可判定△AOB为直角三角形；
（3）结合（2）的过程可得到△AOB恒为直角三角形等结论．

解答 （1）解：∵y=ax²过点（2，1），
∴1=4a，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）①证明：
当m=$\frac{3}{2}$时，联立直线和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+4}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=16}\end{array}\right.$，
∴A（-2，1），B（8，16），
分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，如图1，

∴AC=1，OC=2，OD=8，BD=16，
∴$\frac{AC}{OC}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，且∠ACO=∠ODB，
∴△ACO∽△ODB，
∴∠AOC=∠OBD，
又∵∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，
∴△AOB为直角三角形；
②解：△AOB为直角三角形．
证明如下：
当m≠$\frac{3}{2}$时，联立直线和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+4}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2m-2\sqrt{{m}^{2}+4}}\\{y=（m-\sqrt{{m}^{2}+4}）^{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2m+2\sqrt{{m}^{2}+4}}\\{y=（m+\sqrt{{m}^{2}+4}）^{2}}\end{array}\right.$，
∴A（2m-2$\sqrt{{m}^{2}+4}$，（m-$\sqrt{{m}^{2}+4}$）²），B（2m+2$\sqrt{{m}^{2}+4}$，（m+$\sqrt{{m}^{2}+4}$）²），
分别过A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，如图2，

∴AC=（m-$\sqrt{{m}^{2}+4}$）²，OC=-（2m-2$\sqrt{{m}^{2}+4}$），BD=（m+$\sqrt{{m}^{2}+4}$）²，OD=2m+2$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴$\frac{AC}{OC}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}+4}}{2}$，且∠ACO=∠ODB，
∴△ACO∽△OBD，
∴∠AOC=∠OBD，
又∵∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，即∠AOB=90°，
∴△AOB为直角三角形；
（3）解：由（2）可知，一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax²的交点为A、B，则△AOB恒为直角三角形．（答案不唯一）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角的判定和性质、直角三角形的判定等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意表示出A、B两点的坐标，构造三角形相似是解题的关键，在（3）中答案不唯一，可结合（2）的过程得出．本题知识点较多，综合性很强，难度较大．