Question

2．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE垂直于PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．
（1）求证：AB=BE；
（2）若PA=2，cosB=$\frac{3}{5}$，求⊙O半径的长．

Answer 1

分析 （1）本题可连接OD，由PD切⊙O于点D，得到OD⊥PD，由于BE⊥PC，得到OD∥BE，得出∠ADO=∠E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；
（2）由（1）知，OD∥BE，得到∠POD=∠B，根据三角函数的定义即可得到结果．

解答 （1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，
∵BE⊥PC，
∴OD∥BE，
∴∠ADO=∠E，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠E，
∴AB=BE；

（2）解：由（1）知，OD∥BE，
∴∠POD=∠B，
∴cos∠POD=cosB=$\frac{3}{5}$，
在Rt△POD中，cos∠POD=$\frac{OD}{OP}$=$\frac{3}{5}$，
∵OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，
∴$\frac{OA}{2+OA}=\frac{3}{5}$，
∴OA=3，
∴⊙O半径=3．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键．