Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，DB⊥AB，AB=4，BC=5，AE平分∠BAD，EF⊥BC于E，求EF长．

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质可得AD=BC=5，DC=AB=4，AD∥BC，然后再结合AE平分∠BAD求出EB=AB=4，进而可得EC的长度，再利用勾股定里计算出BD=3，然后证明△CDB∽△CEF，可得$\frac{EF}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$，进而可得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，DC=AB=4，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB=∠AEB，
∴EB=AB=4，
∴EC=5-4=1，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABD=∠BDC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CEF，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{4}$，
∴EF=$\frac{1}{4}$BD=$\frac{1}{4}$×3=$\frac{3}{4}$．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．