Question

18．如图，?ABCD的边AD=2AB，AE=BF=AB，EC交AD于点M，FD交BC于点N，求证：四边形CDMN是菱形．

Answer 1

分析 △AEM≌△DCM．利用“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB∥CD，AB=CD．然后结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS证得，由四边形CDMN的对边MD=NC且MD∥NC推知四边形CDMN是平行四边形．再由MD=DC证得平行四边形CDMN是菱形．

解答 证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
∵点E、A、B、F在一条直线上，
∴AE∥CD，
∴∠AEM=∠MCD．
又∵AE=AB，
∴AE=DC．
在△AEM与△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AME=∠DMC}\\{∠AEM=∠DCM}\\{AE=DC}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△DCM（AAS）；
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB=CD．
∵△AEM≌△DCM，则AM=DM，即MD=$\frac{1}{2}$AD，
同理，易证△BFN≌△CDN，则BN=CN，即CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴MD=CN，
又MD∥NC，
∴四边形CDMN是平行四边形．
又∵2AB=AD=2DM，AB=CD，
∴DM=CD，
∴平行四边形CDMN是菱形．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定．注意：菱形的邻边相等的平行四边形，而不是邻边相等的四边形．