Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，直线PQ由点B出发沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P，交BC于点Q．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜5）．
（1）判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和平行线的性质就得出结论；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形和平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．

解答 解：（1）△BPQ是等腰三角形；理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB=∠C，
∴∠B=∠PQB，
∴PB=PQ，
即△BPQ是等腰三角形；
（2）当PM∥BC时，四边形PQCM是平行四边形，
则$\frac{AM}{AC}=\frac{AP}{AB}$，
由题意得，AM=2t，AP=10$\sqrt{2}$-t，
则$\frac{2t}{10\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}-t}{10\sqrt{2}}$，
解得：t=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$；
即t=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$时，四边形PQCM是平行四边形．

点评 本题考查的是平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、平行线分线段成比例定理的应用；掌握平行四边形的判定定理、平行线分线段成比例定理并灵活应用是解题的关键．