Question

13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=2，BC=5，∠BAD的平分线交BC于点E，且AE∥CD，试求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 根据题意可以判定△ABE是等边三角形，求得该三角形的高即为等腰梯形ABCD的高．所以利用梯形的面积公式进行解答．

解答 解：过点A作AF⊥BC于点F．
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
又∵∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠C，
∵AD∥BC，AB=CD=2，
∴四边形是等腰梯形，
∴∠B=∠C，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE=2，∠B=60°，
∴AF=AB•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC=BC-BE=5-2=3，…（4分）
∴梯形的面积=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AF=$\frac{1}{2}$×（3+5）×$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的性质等．