Question

11．如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S₁、S₂、S₃，则S₁+S₃与2S₂的大小关系为（　　）

• A． 无法确定
• B． S₁+S₃＜2S₂
• C． S₁+S₃=2S₂
• D． S₁+S₃＞2S₂

Answer 1

分析 根据AD∥BC，得到△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得到$\frac{OD}{BO}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{a}{b}$，由于△AOD与△AOB等高，于是得到S₁：S₂=AD：BC=a：b，求得S₁=$\frac{a}{b}$S₂，S₃=$\frac{b}{a}$S₂，证得S₁+S₃=（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）S₂=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$S₂，根据非负数的定义得到a²+b²＞2ab，于是得到结论．

解答 解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴$\frac{OD}{BO}=\frac{OA}{OC}$=$\frac{a}{b}$，
∵△AOD与△AOB等高，
∴S₁：S₂=AD：BC=a：b，
∴S₁=$\frac{a}{b}$S₂，S₃=$\frac{b}{a}$S₂，
∴S₁+S₃=（$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{a}$）S₂=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$S₂，
∵a≠b，
∴a²+b²＞2ab，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{ab}$＞2，
∴S₁+S₃＞2S₂，
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的性质，非负数的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．