Question

6．己知：在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC的长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
求BC，AD及sin∠CDB．

Answer 1

分析 由圆周角定理得出∠ADB=∠ACB=90°，由勾股定理求出BC，由角平分线得出∠ACD=∠BCD，由圆周角定理得出$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，由圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理得出AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，sin∠CDB=sin∠CAB，即可得出结果．

解答 解：连接BD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8cm，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$cm，
sin∠CDB=sin∠CAB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了圆周角定理、勾股定理、三角函数、圆心角、弧、弦之间的关系定理；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．