Question

7．重温
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角相等．也就是，如图（1），⊙O中，$\widehat{AB}$所对的圆周角∠ACB=∠ADB=∠AEB．

应用
（1）已知：如图（2），矩形ABCD．
①若AB＜$\frac{1}{2}$BC，在边AD上求作点P，使∠BPC=90°．（保留作图痕迹，写出作法．）
②小明经研究发现，当AB、BC的大小关系发生变化时，①中点P的个数也会发生变化，请你就点P的个数，探讨AB与BC之间的数量关系．（直接写出结论）
创新
（2）小明经进一步研究发现：命题“若四边形的一组对边相等和一组对角相等，则这个四边形是平行四边形．”是一个假命题，并在平行四边形的基础上利用“同弧或等弧所对的圆周角相等．”作出了一个反例图形．请你利用下面如图（3）所给的□ABCD作出该反例图形．（不写作法，保留作图痕迹）

Answer 1

分析 （1）①直接利用圆的性质得出BC的中点，进而得出⊙O，即可得出P点位置；
②利用①中所求，进而利用AB＜$\frac{1}{2}$BC时，AB=$\frac{1}{2}$BC时，AB＞$\frac{1}{2}$BC时，分别得出答案；
（2）利用圆周角定理结合圆的相关性质得出符合题意的图形．

解答 解：（1）①如图2所示：
作法：以BC为直径作⊙O，交AD于P₁、P₂
P₁、P₂ 为所求作的点P，
②AB＜$\frac{1}{2}$BC时，点P有两个；
AB=$\frac{1}{2}$BC时，点P有且只有1个；
AB＞$\frac{1}{2}$BC时，点P有0个；

（2）如图3所示：
连接AC，作△ADC的外接圆⊙O，再以C为圆心，CD的长为半径画弧，与⊙O相交于点E，则四边形ABCE即为所求反例图形．

点评 此题主要考查了圆的综合以及平行四边形的性质等知识，正确应用圆周角定理是解题关键．