Question

12．已知，如图，矩形ABCD边AB=6，BC=8，再沿EF折叠，使D点与B点重合，C点的对应点为G，将△BEF绕着点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°），记旋转这程中的三角形为△BE′F′，在旋转过程中设直线E′F′与射钱EF，射线ED分别交于点M、N，当EN=MN时，则FM的长为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 设AE=x=FC=FG，则BE=ED=8-x，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，即6²+x²=（8-x）²，解得：x=$\frac{7}{4}$，BE=$\frac{25}{4}$，EF=$\frac{15}{2}$，由折叠性质得：∠BEF=∠DEF=∠BFE，得出∠DEF=∠NME=∠F′，证得四边形BEMF′为平行四边形，由BE=BF′，证得平行四边形BEMF′为菱形，得出EM=BE=$\frac{25}{4}$，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
由折叠性质得：设AE=x=FC=FG，
则BE=ED=8-x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即6²+x²=（8-x）²，
解得：x=$\frac{7}{4}$，
∴BE=8-$\frac{7}{4}$=$\frac{25}{4}$，
EF=$\sqrt{（BC-AE-FC）^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（8-2x）^{2}+{6}^{2}}$=$\frac{15}{2}$，
由折叠性质得：∠BEF=∠DEF=∠BFE，
∵EN=NM，
∴∠DEF=∠NME=∠F′，
∴EM∥BF′，BE∥E′F′，
∴四边形BEMF′为平行四边形，
由旋转性质得：BF′=BF=8-x，
∴BE=BF′，
∴平行四边形BEMF′为菱形，
∴EM=BE=$\frac{25}{4}$，
∴FM=EF-EM=$\frac{15}{2}$-$\frac{25}{4}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了旋转的性质、勾股定理、矩形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，证出四边形BEMF′是菱形是解决问题的关键．