Question

6．如图，?ABCD中，AB＞BC，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E，∠ABC与∠BCD的平分线交于点F．
（1）EF与AB之间有怎样的位置关系？为什么？
（2）EF，BC与AB之间有怎样的数量关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定方法，结合题意可得△ADE≌△CBF；进而可得DE=BF，ED=EM；
（2）由（1）易得∠AMD=∠ABF，故EM∥BF进而可得根据平行线的性质可得EF=MB，BC=AD=AM，故有EF+BC=AB；

解答 解：（1）EF∥AB，
理由：延长DE交AB于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，
∵DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}∠$ADC，∠ABF=$\frac{1}{2}∠$ABC，
∴∠CDE=∠ABF，
∵AB∥CD，
∴∠CDM=∠AMD，
∴∠AMD=∠ABF，
∴EM∥BF，
∵∠ADC+∠BAD=180°，
∵AE、DE分别平分∠DAB和∠ADC
∴AE⊥DM，AE平分∠DAB．
∴ED=EM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∵AE、CF是角平分线．
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE与△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BCF}\\{AD=BC}\\{∠ADE=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF
∴DE=BF，ED=EM．
∴BF=EM，
∴四边形EMBF是平行四边形，
∴EF∥BM，
即EF∥AB；

（2）EF+BC=AB．
由（1）易证∠AMD=∠ABF，
∴EM∥BF，EM=BF．
∴四边形EFBM是平行四边形．
∴EF=MB，BC=AD=AM．
∴EF+BC=AB．

点评 本题考查的是平行四边形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．