Question

20．已知关于x的一元二次方程（a+c）x²-2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分別为△ABC三边长．
（1）若方程有两个相等的实数根．试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a²=b²+c²，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x²-2bx+（a-c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（-2b）²-4（a+c）（a-c）=0，
∴a²=b²+c²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程（a+c）x²-2bx+（a-c）=0可整理为2ax²-2ax=0，
∴x²-x=0，
解得：x₁=0，x₂=1．

点评 此题考查了根的判别式，等边三角形的性质，解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根；等边三角形的三边相等等．