Question

8．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点A落在边BC的中点M处，点D落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP，若AB=2AD=4，则PE=$\frac{289}{120}$．

Answer 1

分析 由翻折的性质可知AE=EM，设BE=x，则ME=4-x，在Rt△EBM中，由勾股定理可求得BE的长，然后再证明△△EBM∽△MCP，由相似三角形的性质可求得PC的长，然后取EP的中点Q，从而可知QM是梯形EBCP的中位线，从而可求得QM的长，最后在Rt△EMP中，依据直角三角形斜边上中线的性质求解即可．

解答 解：取EP的中点Q，连接MQ．

由翻折的性质可知AE=EM．
设BE=x，则AE=ME=4-x．
在Rt△EBM中，EM²=BE²+MB²，即（4-x）²=x²+1²．
解得：x=$\frac{15}{8}$．
∴BE=$\frac{15}{8}$．
由翻折的性质可知∠EMP=∠A=90°，
∴∠EMB+∠PMC=90°．
又∵∠BEM+∠EMB=90°，
∴∠PMC=∠BEM．
又∵∠B=∠C，
∴△△EBM∽△MCP．
∴$\frac{EB}{MC}=\frac{MB}{PC}$，即$\frac{\frac{15}{8}}{1}=\frac{1}{PC}$．
解得：PC=$\frac{8}{15}$．
∵QM是梯形EBCP的中位线，
∴EM+PC=2QM．
∵在Rt△EMP中，QM是斜边EP上的中线，
∴PE=2QM=EM+PC=$\frac{15}{8}+\frac{8}{15}$=$\frac{289}{120}$．
故答案为：$\frac{289}{120}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、相似三角形的性质和判定、梯形的中位线的性质、直角三角形斜边上中线的性质证得PE=EM+PC是解题的关键．