Question

观察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2012×2013

=

2012

2013

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

分析：（1）观察得到分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，即

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①由（1）的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
②由（1）的规律，分别将每一个式子写成两个分数差的形式，再计算；
（3）先提

1

4

出来，然后和前面的运算方法一样．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

；

（2）①原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2012

-

1

2013

=1-

1

2013

=

2012

2013

；

②原式═1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（3）原式=

1

4

（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

1006×1007

）
=

1

4

（1-

1

1007

）
=

503

2014

．
故答案为

1

n

-

1

n+1

；

2012

2013

；

n

n+1

．

点评：本题考查了关于数字变化的规律：通过观察数字之间的变化规律，得到一般性的结论，再利用此结论解决问题．