题目内容
观察下列等式
=1-
,
=
-
,
=
-
,将以上三个等式两边分别相加得:
+
+
=1-
+
-
+
-
=1-
=
.
(1)猜想并写出:
=
-
-
(2)直接写出下列各式的计算结果:
①
+
+
+…+
=
②
+
+
+…+
=
(3)探究并计算:
+
+
+…+
.
1 |
1×2 |
1 |
2 |
1 |
2×3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3×4 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
4 |
3 |
4 |
(1)猜想并写出:
1 |
n(n+1) |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
(2)直接写出下列各式的计算结果:
①
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
2011×2012 |
2011 |
2012 |
2011 |
2012 |
②
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
n×(n+1) |
n |
n+1 |
n |
n+1 |
(3)探究并计算:
1 |
2×4 |
1 |
4×6 |
1 |
6×8 |
1 |
2010×2012 |
分析:观察得到分子为1,分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差,即
=
-
;然后根据此规律把各分数转化,再进行分数的加减运算.对于(3)先提
出来,然后和前面的运算方法一样.
1 |
n(n+1) |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
4 |
解答:解:(1)
-
;(2)①
;②
;
(3)原式=
(
+
+…+
)
=
×
=
.
1 |
n |
1 |
n+1 |
2011 |
2012 |
n |
n+1 |
(3)原式=
1 |
4 |
1 |
1×2 |
1 |
2×3 |
1 |
1005×1006 |
=
1 |
4 |
1005 |
1006 |
=
1005 |
4024 |
点评:本题考查了关于数字变化的规律:通过观察数字之间的变化规律,得到一般性的结论,再利用此结论解决问题.
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