题目内容
观察下列等式
=1-
，
=
-
，
=
-
，
将以上三个等式两边分别相加得：
+
+
=1-
+
-
+
-
=1-
=
．
（1）猜想并写出：
=
=
-
=
-
；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
+
+
+…+
=
；
（3）如果有理数a，b满足|ab-2|+（1-a）2=0，试求
+
+
+…+
．
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
将以上三个等式两边分别相加得：
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（1）猜想并写出：
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
（2）直接写出下列各式的计算结果：
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 2011×2012 |
| 2011 |
| 2012 |
| 2011 |
| 2012 |
（3）如果有理数a，b满足|ab-2|+（1-a）2=0，试求
| 1 |
| (a+1)(b+2) |
| 1 |
| (a+3)(b+4) |
| 1 |
| (a+5)(b+6) |
| 1 |
| (a+2009)(b+2010) |
分析：（1）根据已知的式子可以直接得到；
（2）根据（1）的结果，把每个加数写成两个分数的差的形式，然后进行计算即可求解；
（3）根据非负数的性质求得a、b的值，代入所求的式子，然后利用（1）中的结论即可求解．
（2）根据（1）的结果，把每个加数写成两个分数的差的形式，然后进行计算即可求解；
（3）根据非负数的性质求得a、b的值，代入所求的式子，然后利用（1）中的结论即可求解．
解答：解：（1）
=
-
；
（2）原式=
-
+
-
+…+
-
=1-
=
；
（3）根据题意得：
，
解得：
，
代入式子得到，原式=
+
+
+…+
=
（
-
+
-
+…+
-
）=
（
-
）=
．
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
（2）原式=
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2011 |
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 2012 |
| 2011 |
| 2012 |
（3）根据题意得：
|
解得：
|
代入式子得到，原式=
| 1 |
| 2×4 |
| 1 |
| 4×6 |
| 1 |
| 6×8 |
| 1 |
| 2010×2012 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2010 |
| 1 |
| 2012 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2012 |
| 1005 |
| 4024 |
点评：本题考查了有理数的运算，正确读懂题意，理解式子的变形是关键．
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