阅读理解:如果两个正数a.b.即a＞0.b＞0.有下面的不等式:$\frac{a+b}{2}$$≥\sqrt{ab}$.当且仅当a=b时取到等号我们把$\frac{a+b}{2}$叫做正数a.b的算术平均数.把$\sqrt{ab}$叫做正数a.b的几何平均数.于是上述不等式可表述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．它在数学中有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

阅读理解：如果两个正数a，b，即a＞0，b＞0，有下面的不等式：$\frac{a+b}{2}$$≥\sqrt{ab}$，当且仅当a=b时取到等号我们把$\frac{a+b}{2}$叫做正数a，b的算术平均数，把$\sqrt{ab}$叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．
初步探究：（1）已知x＞0，求函数y=x+$\frac{4}{x}$的最小值．
问题迁移：（2）学校准备以围墙一面为斜边，用栅栏为成一个面积为100m²的直角三角形，作为英语角，直角三角形的两直角边各为多少时，所用栅栏最短？
创新应用：（3）如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的内切圆的半径．

分析（1）根据x＞0，令a=x，b=$\frac{4}{x}$，利用题中的新定义求出函数的最小值即可；
（2）设一直角边为xm，则另一直角边为$\frac{200}{x}$m，栅栏总长为ym，根据题意表示出y与x的函数关系式，利用题中的新定义求出y取得最小值时x的值即可；
（3）设直线AB解析式为y=kx+b，把P坐标代入用k表示出b，进而表示出A与B坐标，确定出OA与OB的长，得出三角形AOB面积，利用题中的新定义求出三角形AOB面积最小时k的值，确定出直角三角形三边，即可求出三角形AOB内切圆半径．

解答解：（1）令a=x，b=$\frac{4}{x}$（x＞0），
由a+b≥2$\sqrt{ab}$，得y=x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
当且仅当x=$\frac{4}{x}$时，即x=2时，函数有最小值，最小值为2；
（2）设一直角边为xm，则另一直角边为$\frac{200}{x}$m，栅栏总长为ym，
y=x+$\frac{200}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{200}{x}}$=20$\sqrt{2}$，
当且仅当x=$\frac{200}{x}$时，即x=10$\sqrt{2}$m时，y有最小值，即所用栅栏最短；
（3）设直线AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
整理得：b=4-3k，
∴直线AB的解析式是y=kx+4-3k，
当x=0时，y=4-3k；当y=0时，x=$\frac{3k-4}{k}$，
即A（0，4-3k），B（$\frac{3k-4}{k}$，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•OA=$\frac{1}{2}$（4-3k）•$\frac{3k-4}{k}$=12-（$\frac{9}{2}$k+$\frac{8}{k}$），
∵要使△AOB的面积最小，
∴$\frac{9}{2}$k+$\frac{8}{k}$必须最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-$\frac{9}{2}$k-$\frac{8}{k}$≥2$\sqrt{-\frac{9}{2}k•\frac{8}{-k}}$=2×6=12，当且仅当-$\frac{9}{2}$k=-$\frac{8}{k}$时，取等号，
解得：k=±$\frac{4}{3}$，
∵k＜0，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
即OA=4-3k=8，OB=6，
根据勾股定理得：AB=10，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×6R+$\frac{1}{2}$×8R+$\frac{1}{2}$×10R，
解得：R=2．

点评此题属于圆的综合题，弄清题中新定义“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”是解本题的关键．

	A．	b=a（1+8.9%+9.5%）		B．	b=a（1+8.9%×9.5%）
	C．	b=a（1+8.9%）（1+9.5%）		D．	b=a（1+8.9%）²（1+9.5%）

试题分类