题目内容
2．如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=90°，连接CD、BE、DE
（1）证明：△ADC≌△ABE；
（2）试判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由；
（3）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是30平方米，内圈的所有三角形的面积之和是20平方米，这条小路一共占地70平方米．（不用写过程）
分析 （1）由三角形ABD与三角形ACE都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质及等式的性质得到∠DAC=∠BAE，利用SAS可得出△DAC≌△BAE，得证；
（2）过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，得出△ABC与△AEG的两条高，等腰直角三角形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△ADE面积之间的关系的关键；
（3）同（2）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米
解答 （1）证明：∵△ABD和△ACE都为等腰直角三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=90°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS）；
（2）△ABC与△ADE面积相等．
证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，
∵∠BAD+∠CAD+∠BAC+∠DAE=360°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∵∠DAE+∠EAN=180°，
∴∠BAC=∠EAN，
在△ACM和△AEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠NAE}\\{∠AMC=∠ANE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$
∴△ACM≌△AEN（AAS），
∴CM=EN，
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CM，S△ADE=$\frac{1}{2}$AD•EN，
∴S△ABC=S△ADE；
（3）解：由（2）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．
∴这条小路的面积为（30+2×20）=70平方米．
故答案为：70．
点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解决问题．由正方形的特殊性证明△ACM≌△ANE，是判断△ABC与△ADE面积之间的关系的关键．
名牌学校分层周周测系列答案
黄冈海淀全程培优测试卷系列答案
抛物线与x轴交于A，B两点，（点B在点A的左侧）且A，B两点的坐标分别为（-2，0）、（8，0），与y轴交于点C（0，-4），连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M．
如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AB=5，则CD=5．
已知a、b表示两个不同点A、B的有理数，且|a|=5，|b|=2，它们在数轴的位置如图所示．