Question

13．如图，平面直角坐标系xOy中，已知B（-1，0），一次函数y=-x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A、点B．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；
（3）如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）由一次函数的解析式求出A、C两点坐标，再根据A、B两点坐标求出b、c即可确定二次函数解析式；
（2）根据二次函数的解析式求出P点坐标，然后计算三角形APC的面积；
（3）分两种情况讨论：①△ABC∽△AOQ，②△ABC∽△AQO．

解答 解：（1）∵一次函数y=-x+5的图象与x轴、y轴分别交于点A、C两点，
∴A（5，0），C（0，5），
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点A、点B，
∴b=4，c=5，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+4x+5．
（2）∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴P（2，9），
过点P作PD∥y轴交AC于点D，如图，

则D（2，3），
∴${S}_{△APC}=\frac{1}{2}（{x}_{A}-{x}_{C}）（{y}_{P}-{y}_{D}）$=15；
（3）①若△ABC∽△AOQ，如图，

此时，OQ∥BC，
由B、C两点坐标可求得BC的解析式为：y=5x+5，
∴OQ的解析式为：y=5x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=5x}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{6}}\\{y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{5}{6}$，$\frac{25}{6}$）；
②若△ABC∽△AQO，如图，

此时，$\frac{AQ}{AB}=\frac{AO}{AC}$，
∵AB=6，AO=5，AC=$5\sqrt{2}$，
∴AQ=3$\sqrt{2}$，
∴Q（2，3）．
综上所述，满足要求的Q点坐标为：Q（$\frac{5}{6}$，$\frac{25}{6}$）或Q（2，3）．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式，铅垂高法求三角形面积、相似三角形的判定与性质，难度中等．分类讨论思想的应用是解答（3）问的关键．