Question

11．著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）ⁿ-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）ⁿ]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）⁸-（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）⁸]．根据以上材料，写出并计算：
（1）这个数列的第1个数；
（2）这个数列的第2个数．

Answer 1

分析 （1）把n=1代入式子化简求得答案即可．
（2）把n=2代入式子化简求得答案即可．

解答 解：（1）第1个数，当n=1时，
$\frac{1}{\sqrt{5}}$（ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{5}$=1；

（2）第2个数，当n=2时，
$\frac{1}{\sqrt{5}}$[（ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²-（ $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）²]
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$（ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$+$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）（ $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）
=$\frac{1}{\sqrt{5}}$×1×$\sqrt{5}$=1．

点评 此题考查二次根式的混合运算、化简求值以及应用，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．