题目内容

如图，在平面直角坐标系中，将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边重合于OA，直角边不重合，已知A（6，0），AB=OC，AC与OB交于点D，连接BC．
（1）填空，如图1，D点坐标是．
（2）若将△OCA饶OA的中点P逆时针转90°到△O₁C₁A₁的位置，则C₁的坐标为．
（3）在（2）的条件下，求△OAB与△O₁C₁A₁的重叠部分的面积．

解：（1）过D作DP⊥OA于P，则P是OA的中点；
∴OP=PA=3，即P（3，0）；
在Rt△OPD中，OP=3，∠DOP=30°，则：

PD=OP÷ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即D（3， $\text{[math]}$ ）．

（2）连接CP，C₁P；
由于P是Rt△ACO的中点，且∠COP是60°，
那么△CPO是等边三角形，即CP=OP=3，∠CPO=60°；
∴∠C₁PO=30°，而根据旋转的性质知：PC₁=CP=3，
可求得C₁（3- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．

（3）由（1）（2）得：A（6，0），P（3，0），A₁（3，3），B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），C₁（3- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）；
那么可得：直线BO：y= $\text{[math]}$ x，则N（3， $\text{[math]}$ ）；
直线A₁C₁：y= $\text{[math]}$ x+3-3 $\text{[math]}$ ，可求Q（3- $\text{[math]}$ ，0），M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
即可求S_阴影= $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×（3- $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过D作DP⊥x轴于P，易知点P是OA的中点，则OE=3，根据∠DOE的度数，即可求得点D的坐标．
（2）连接CP、C₁P，在Rt△ACO中，CP是斜边OA上的中线，已知CP=OP=3，且∠CPO=60°；若旋转角为60°，那么∠C₁PO=30°，结合CP即C₁P的值即可求出点C1的坐标．
（3）首先求出A₁、P、的坐标，然后分别求出直线OB、直线A₁C₁的解析式，即可得M、N、Q点的坐标，那么阴影部分的面积可由△OPN、△OMQ的面积差求得．
点评：此题主要考查了图形的旋转变化、直角三角形的性质、函数图象交点坐标以及图形面积的求法，难度适中．