在平面直角坐标系中.将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点 .如是一对“互换点．(1)任意一对“互换点能否都在一个反比例函数的图象上?为什么?(2)M.N是一对“互换点 .若点M的坐标为(m.n).求直线MN的表达式,(3)在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点 A.B.其中点A在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．
（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？
（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n的代数式表示）；
（3）在抛物线y=x²+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=-$\frac{2}{x}$的图象上，直线AB经过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），求此抛物线的表达式．

分析（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由$b=\frac{k}{a}$可得$a=\frac{k}{b}$，于是得到结论；
（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；
（3）设点A（p，q），则$q=-\frac{2}{p}$，由直线AB经过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），得到p+q=1，得到q=-1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x²+bx+c得，于是得到结论．

解答解：（1）不一定，
设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．
①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，
②当ab≠0时，由$b=\frac{k}{a}$可得$a=\frac{k}{b}$，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．
则有$\left\{\begin{array}{l}mc+d=n\\ nc+d=m\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ d=m+n\end{array}\right.$，
∴直线MN的表达式为y=-x+m+n；

（3）设点A（p，q），则$q=-\frac{2}{p}$，
∵直线AB经过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），由（2）得$\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+p+q$，
∴p+q=1，
∴$p-\frac{2}{p}=1$，
解并检验得：p=2或p=-1，
∴q=-1或q=2，
∴这一对“互换点”是（2，-1）和（-1，2），
将这一对“互换点”代入y=x²+bx+c得，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-b+c=2\\ 4+2b+c=-1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-1\end{array}\right.$，
∴此抛物线的表达式为y=x²-2x-1．