Question

19．如图，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-x+6相交于A，B两点，过点A作x轴的垂线与过点B作y轴的垂线相交于点C，若△ABC的面积为8，则k的值为5．

Answer 1

分析 根据双曲线和直线的解析式，求出点A、B的坐标，继而求出AC、BC的长度，然后根据△ABC的面积为8，代入求解k值．

解答 解法一：
解：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3-\sqrt{9-k}}\\{{y}_{1}=3+\sqrt{9-k}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3+\sqrt{9-k}}\\{{y}_{2}=3-\sqrt{9-k}}\end{array}\right.$，
即点A的坐标为（3-$\sqrt{9-k}$，3+$\sqrt{9-k}$），
点B的坐标为（3+$\sqrt{9-k}$，3-$\sqrt{9-k}$），
则AC=2$\sqrt{9-k}$，BC=2$\sqrt{9-k}$，
∵S_△ABC=8，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=8，
即2（9-k）=8，
解得：k=5．
解法二：
解：设点A（x₁，6-x₁），B（x₂，6-x₂）
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$与直线y=-x+6相交于A，B两点，
∴方程$\frac{k}{x}$-（-x+6）=0有解，
即：x²-6x+k=0有2个不相同的实根，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=k，
∵AC⊥BC
∴C点坐标为（x₁，6-x₂）
∴AC=x₂-x₁ BC=x₂-x₁
∵S_△ABC=8，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=8
∴$\frac{1}{2}$（x₂-x₁）²=8
整理得：（x_1⁺x₂）²-4x₁x₂=16，
∴36-4k=16
解得k=5，
故答案为：5．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是把两个函数关系式联立成方程组求出交点，然后根据三角形的面积公式求解．