Question

16．如图1，矩形ABCD的边AB=4，BC=3，一简易量角器放置在矩形ABCD内，其零度线即半圆O的直径与边AB重合，点A处是0刻度，点B处是180刻度，P点是量角器的半圆弧上一动点，过P点的切线与边BC、CD（或其延长线）分别交于点E、F．设点P处的刻度数为n，∠PAB=α．
（1）当n=136时，α=22°，写出α与n的关系式；
（2）如图2，当n=120时，求：弦AP的长；
（3）在P点的运动过程中，线段EB与EP有怎样的数量关系，请予证明．

Answer 1

分析 （1）由∠AOP=136°可求出∠POB，进而求出∠PAB，用同样的方法就可求出α与n的关系．
（2）利用（1）中的α与n的关系式得到∠PAB=30°，所以通过解直角△APB即可得到弦AP的长度．
（3）运用切线长定理即可解决问题．

解答 解：（1）连接OP，如图1，
由题可知：∠AOP=136°．
∴∠POB=44°．
∴∠PAB=22°．
∵∠AOP=n°，
∴∠POB=180°-n°．
∴∠PAB=α=$\frac{1}{2}$∠POB=$\frac{1}{2}$（180°-n°）=90°-$\frac{1}{2}$n°．
α与n的关系式α=90°-$\frac{1}{2}$n°．
故答案为：22°；

（2）如图2，连接PB．
∵AB是直径，
∴∠APB=90°．
由（1）知，α=90°-$\frac{1}{2}$n°．
则当n=120时，α=30°，
∵AB=4，
∴AP=AB•cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．

（3）EB=EP．
理由如下：
如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∴EB与半圆O相切．
又∵EP与半圆O相切，
∴由切线长定理得：EB=EP．

点评 此题属于圆的综合题，涉及了切线的性质，圆周角定理，切线长定理，三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．