Question

3．如图，已知点A是双曲线y=$\frac{1}{x}$在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＜0）上运动，则k的值是-1．

Answer 1

分析 连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，设A点坐标为（a，$\frac{1}{a}$），利用反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则OA=OB，再根据等腰直角三角形的性质得OC=OA，OC⊥OA，然后利用等角的余角相等可得到∠DCO=∠AOE，则根据“AAS”可判断△COD≌△OAE，所以OD=AE=$\frac{1}{a}$，CD=OE=a，于是C点坐标为（$\frac{1}{a}$，-a），最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定C点所在的函数图象解析式．

解答 解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，
设A点坐标为（a，$\frac{1}{a}$），
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=$\frac{1}{a}$的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
在△COD和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠AOE}\\{∠CDO=∠AEO}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△OAE，
∴OD=AE，CD=OE，
∴点C的坐标为（$\frac{1}{a}$，-a），
$\frac{1}{a}$×（-a）=-1，
∴k=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，熟练运用三角形全等的判定与性质解决线段相等的问题是解题的关键．