已知:如图①.△ABC是等边三角形.点P是直线AB上的动点.连接CP．(1)当点P在线段AB上运动时.以PC为边在PC上方作等边△CPQ.连结AQ.如图①．请你猜想线段AQ与BP之间有何数量关系?并证明你的猜想,(2)当点P在边BA的延长线上运动时.其它作法与(1)相同.如图②．请你猜想(1)中的结论是否成立?并证明你的猜想,(3)当点P在线段AB上运动时.以PC为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．已知：如图①，△ABC是等边三角形，点P是直线AB上的动点，连接CP．
（1）当点P在线段AB上运动（点P与A、B不重合）时，以PC为边在PC上方作等边△CPQ，连结AQ，如图①．请你猜想线段AQ与BP之间有何数量关系？并证明你的猜想；
（2）当点P在边BA的延长线上运动时，其它作法与（1）相同，如图②．请你猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的猜想；
（3）当点P在线段AB上运动（点P与A、B不重合）时，以PC为边分别在上方、下方作等边△CPE和等边△CPF，连结AE、BF，如图③．请你猜想线段AE、BF、AB之间有何数量关系？并证明你的猜想；
（4）当点P边BA的延长线上运动时，其它作法与（3）相同，如图④．请你猜想（3）中的结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请你继续猜想是否有新的结论？若有，是什么结论，并证明你的猜想．

分析（1）证明△BPC和△AQC全等，可以得出AQ=BP关系；
（2）证明△BPC和△AQC全等，可以得出AQ=BP关系；
（3）证明△BFC和△APC全等，△PBC和△EAC全等，可以得出BF=AP，BP=AE关系，再得出AE、BF、AB之间的关系；
（4）证明△BFC和△APC全等，△PBC和△EAC全等，可以得出BF=AP，BP=AE关系，再得出AE、BF、AB之间的关系．

解答解：（1）AQ=BP，理由如下：
∵△ABC，△CPQ是等边三角形，
∴BC=AC，CP=CQ，
∴∠ACB=∠QCP，
∴∠PCB=∠QCA，
在△BPC和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠PCB=∠QCA}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴AQ=BP；
（2）成立，理由如下；
∵△ABC，△CPQ是等边三角形，
∴BC=AC，CP=CQ，
∴∠ACB=∠QCP，
∴∠PCB=∠QCA，
在△BPC和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠PCB=∠QCA}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴AQ=BP；
（3）AE+BF=AB，理由如下：
∵△ABC，△PFC是等边三角形，
∴CF=CP，BC=AC，
∴∠PCF=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACP，
在△PBC和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CP}\\{∠BCF=∠ACP}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△EAC（SAS），
∴BF=AP；
同理可得：AE=BP，
∴AB=AP+BP=BF+AE；
（4）不成立，AE-BF=AB，理由如下：
∵△ABC，△PFC是等边三角形，
∴CF=CP，BC=AC，
∴∠PCF=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACP，
在△PBC和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CP}\\{∠BCF=∠ACP}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△EAC（SAS），
∴BF=AP；
同理可得：AE=BP，
∴BP=AE=AB+AP=AB+BF，
∴AE-BF=AB．