Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，直线AE与y轴交于点D，AO=6，∠DAO=30°，OD=2$\sqrt{3}$，AD=BD．
（1）求点B的坐标；
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AE运动，运动时间为t秒（t＞0）．设PD的长为d，求d与t的关系式（请直接写出t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点D作DF∥x轴，与AB交于点F，是否存在t值，使△PDF为等腰三角形？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=4$\sqrt{3}$，从而可求得OB=6$\sqrt{3}$，故此可求得点B的坐标；
（2）当0＜t＜2$\sqrt{3}$时，PD=AD-AP；当t≥2$\sqrt{3}$时，PD=PA-AD；
（3）先求得点F的坐标，然后求得直线AD的解析式，列出设出点P的坐标，最后分为PF=DF、DF=DP，PF=PD三种情况，依据两点之间的距离公式列方程求解即可．

解答 解：（1）在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∵AD=BD，
∴BD=4$\sqrt{3}$．
∴OB=OD+BD=2$\sqrt{3}$+4$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
∴点B的坐标为（0，6$\sqrt{3}$）．
（2）当0＜t＜2$\sqrt{3}$时，PD=AD-AP=4$\sqrt{3}$-2t；
当t≥2$\sqrt{3}$时，PD=PA-AD=2t-4$\sqrt{3}$．
∴d与t的函数关系式为d=$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}-2t（0＜t＜2\sqrt{3}）}\\{2t-4\sqrt{3}（t≥2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$．
（3）设AB的解析式为y=kx+b，将点A、点B的坐标代入解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{-6k+b=0}\\{b=6\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：k=$\sqrt{3}$，b=6$\sqrt{3}$．
∴直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}x$+6$\sqrt{3}$．
将y=2$\sqrt{3}$代入得：$\sqrt{3}x+6\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
解得：x=-4．
∴点F的坐标为（-4，2$\sqrt{3}$）．
设直线AD的解析式为y₁=k₁x+b₁．
将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{{-6k}_{1}+{b}_{1}=0}\\{{b}_{1}=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
解得：k₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b₁=2$\sqrt{3}$．
∴AD的解析式为y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}$．
设当运动时间为t秒时，点P的坐标为（-6+$\sqrt{3}t$，t）．
当PF=DF时，由两点之间的距离公式得：$（-6+\sqrt{3}t+4）^{2}+（t-2\sqrt{3}）^{2}$=4²．
解得：${t}_{1}=2\sqrt{3}$，t₂=0（舍去）．
当DF=DP时，$（-6+\sqrt{3}t）^{2}+（2\sqrt{3}-t）^{2}$=4²．
解得：${t}_{1}=2\sqrt{3}+2\sqrt{5}$，${t}_{2}=2\sqrt{3}-2\sqrt{5}$（舍去）．
当PF=PD时，$（-6+\sqrt{3}t+4）^{2}+（t-2\sqrt{3}）^{2}$=$（-6+\sqrt{3}t）^{2}+（t-2\sqrt{3}）^{2}$．
解得：t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
综上所述，当t=2$\sqrt{3}$，或t=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{5}$，或t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$时，△DFP为等腰三角形．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用、勾股定理的应用、待定系数法求一次函数的解析式、两点间的距离公式的应用，分类讨论是解题的关键．