Question

6．如图，一次军事演习中，蓝方在-条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶2000米到达C后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同距离，刚好在D处成功拦截蓝方．
（1）求点C到公路的距离；
（2）求红蓝双方最初的距离．（结果保留根号）

Answer 1

分析 过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°；
（1）点C到公路的距离就是BE的长，在Rt△BCE中，根据三角函数可求BE的长．
（2）红蓝双方相距AB=DF+CE．在Rt△BCE中，根据锐角三角函数的定义求出CE的长，同理，求出DF的长，进而可得出结论．

解答 解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，
（1）点C到公路的距离就是BE的长，
在Rt△BCE中，∵BC=2000米，∠EBC=60°，
∴BE=BC•cos60°=2000×$\frac{1}{2}$=1000米．
答：点C到公路的距离就是BE的长是1000米．

（2）红蓝双方相距AB=DF+CE．
在Rt△BCE中，
∵BC=2000米，∠EBC=60°，
∴CE=BC•sin60°=2000×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1000$\sqrt{3}$米．
在Rt△CDF中，
∵∠F=90°，CD=2000米，∠DCF=45°，
∴DF=CD•sin45°=2000×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1000$\sqrt{2}$米，
∴AB=DF+CE=（1000$\sqrt{2}$+500$\sqrt{3}$）米．
答：红蓝双方最初相距（1000$\sqrt{2}$+1000$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．