Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，A、B两点的坐标分别是A（3，0），B（0，2）．若抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C，且与x轴的另一个交点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上一点，直线OP将四边形OBCD的面积分成1：2两部分．求出此时点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q的坐标为何值时QD+QC最小？并求出最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先由平行四边形的性质得出BC=OA=3，BC∥OA，再由B（0，2），得出C（-3，2），然后把A、B、C三点的坐标代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先画出图形，计算得出S_△OCD=6，S_{四边形OBCD}=9，因此直线OP必经过线段CD．设直线OP与线段CD的交点为E，根据题干可知：△ODE与四边形OBCD的面积比应该是1：2或2：1，即△ODE的面积是四边形OBCD面积的

1

3

或

2

3

．①当S_△ODE=

1

3

×9=3时，首先求出直线OE（即直线OP）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点P的坐标；②当S_△ODE=

2

3

×9=6时，P与C重合；
（3）连结BD交抛物线的对称轴于点Q，则QD+QC=QD+QB=BD最小，在直角△OBD中运用勾股定理求出BD=2

10

．运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=

1

3

x+2，将x=-

3

2

代入，求出y的值，即可得到点Q的坐标．

解答：解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），
∴BC=OA=3，BC∥OA．
∵B（0，2），
∴C（-3，2）．
把A、B、C三点的坐标代入y=ax²+bx+c，
得

9a+3b+c=0 c=2 9a-3b+c=2

，解得

a=- 1 9 b=- 1 3 c=2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

9

x²-

1

3

x+2；

（2）∵y=-

1

9

x²-

1

3

x+2，
∴当y=0时，-

1

9

x²-

1

3

x+2=0，
解得x₁=3，x₂=-6，
∴D点坐标为（-6，0）．
∵S_△OCD=

1

2

×6×2=6，S_{四边形OBCD}=S_△OBC+S_△OCD=

1

2

×3×2+6=3+6=9，
∴当直线OP将四边形OBCD的面积分成1：2两部分时，设直线OP与直线CD交于点E，则△ODE的面积可以为3或6．
①当S_△ODE=

1

3

×9=3时，
∵S_△ODP=

1

2

S_△OCD，
∴E为CD的中点，
∵C（-3，2），D（-6，0），
∴E点坐标为（-4.5，1）．
设直线OE的解析式为y=kx，则-4.5x=1，
解得k=-

2

9

，
∴y=-

2

9

x．
设点P的坐标为（x，-

1

9

x²-

1

3

x+2），
则-

1

9

x²-

1

3

x+2=-

2

9

x，
解得：x₁=

-1- 73

2

，x₂=

-1+ 73

2

（舍去），
∴P₁（

-1- 73

2

，

1+ 73

9

）；
②当S_△ODE=

2

3

×9=6时，P与C重合．
∴P₂点坐标为（-3，2）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为P₁（

-1- 73

2

，

1+ 73

9

），P₂（-3，2）；

（3）如图，连结BD交抛物线的对称轴于点Q，则QD+QC=QD+QB=BD最小，BD=

OB2+OD2

=

22+62

=2

10

．
设直线BD的解析式为y=mx+n，
∵B（0，2），D（-6，0），
∴

b=2 -6k+b=0

，解得

k= 1 3 b=2

，
∴y=

1

3

x+2．
∵抛物线y=-

1

9

x²-

1

3

x+2的对称轴为x=-

3

2

，
∴当x=-

3

2

时，y=

1

3

×（-

3

2

）+2=

3

2

，
∴点Q的坐标为（-

3

2

，

3

2

）时QD+QC最小，此时最小值为2

10

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有平行四边形的性质，运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，图形面积的求法，勾股定理，轴对称的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论、方程思想是解题的关键．