Question

如图，将边长都为2

2

cm的正方形按如图所示摆放，点A₁、A₂、…、A_n分别是正方形的中心，则2014个这样的正方形重叠部分的面积和为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：标注字母，过点A₁作A₁D、A₁E与正方形的边垂直，根据正方形的性质可得A₁D=A₁E，再求出∠BA₁D=∠CA₁E，然后利用“角边角”证明△A₁BD和△A₁CE全等，然后根据全等三角形的性质可得阴影部分的面积等于正方形面积的

1

4

，再根据重叠部分的个数比正方形的个数少1进行计算即可得解．

解答：解：如图，过点A₁作A₁D、A₁E与正方形的边垂直，
∵A₁是正方形的中心，
∴A₁D=A₁E，A₁D⊥A₁E，
∵∠BA₁D+∠BA₁E=∠CA₁E+∠BA₁E，
∴∠BA₁D=∠CA₁E，
在△A₁BD和△A₁CE中，

∠BA1D=∠CA1E A1D=A1E ∠A1DB=∠A1EC=90°

，
∴△A₁BD≌△A₁CE（SAS），
∴阴影部分的面积=正方形面积的

1

4

=

1

4

×（2

2

）²=2，
∴2014个这样的正方形重叠部分的面积和=2×（2014-1）=4026．
故答案为：4026．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并求出阴影部分的面积等于正方形面积的

1

4

是解题的关键，要注意阴影部分的个数比正方形的个数少1．