题目内容
15．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点
（1）如图1，当点D在BC边上时，连接AD、BE，求证：AD=BE；
（2）如图2，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF=CF，试判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）将（2）问的条件AF=CF换成AF=FD，其他条件不变，（2）问中的关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出相应的正确的结论．
分析 （1）要想证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BCE即可；
（2）先利用等腰直角三角形的性质得CA=CB，CD=CE，则可证明△ADC≌△BEC得到AD=BE，∠1=∠CBE，由于AD=2CF，∠1=∠2，则BE=2CF，再证明∠CBE+∠3=90°，于是可判断CF⊥BE；
（3）延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图2，易得四边形ACDG为平行四边形，则AG=CD，AG∥CD，于是根据平行线的性质得∠GAC=180°-∠ACD，所以CD=CE=AG，再根据旋转的性质得∠BCD=α，所以∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，得到∠GAC=∠ECB，接着可证明△AGC≌△CEB，得到CG=BE，∠2=∠1，所以BE=2CF，和前面一样可证得CF⊥BE．
解答 解：（1）∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠C=∠C=9{0}^{°}}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
（2）BE=2CF，BE⊥CF．
如图2：
理由如下：
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，
在△ADC和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，∠1=∠CBE，
而AD=2CF，∠1=∠2，
∴BE=2CF，
而∠2+∠3=90°，
∴∠CBE+∠3=90°，
∴CF⊥BE；
（2）仍然有BE=2CF，BE⊥CF．理由如下：
延长CF到G使FG=CF，连结AG、DG，如图3，
∵AF=DF，FG=FC，
∴四边形ACDG为平行四边形，
∴AG=CD，AG∥CD，
∴∠GAC+∠ACD=180°，即∠GAC=180°-∠ACD，
∴CD=CE=AG，
∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），
∴∠BCD=α，
∴∠BCE=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°-∠ACD=180°-∠ACD，
∴∠GAC=∠ECB，
在△AGC和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CE}\\{∠GAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△CEB，
∴CG=BE，∠2=∠1，
∴BE=2CF，
而∠2+∠BCF=90°，
∴∠BCF+∠1=90°，
∴CF⊥BE．
点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质，在（3）中解决本题的关键是作出辅助线．
如图，数轴上点A表示$\sqrt{2}$，原点是线段AB的中点，设点B所表示的数为x，求x2+$\sqrt{2}x$的值．
夏季来临，某饮品店老板大白计划下个月（2015年8月）每天制作新鲜水果冰淇淋800份销售．去年同期，这种冰淇淋每份的成本价为5元，售价为8元．该冰淇淋不含防腐剂，很受顾客的欢迎，但如果当天制作的冰淇淋未售出，新鲜水果就会腐败变质，饮品店就将承担冰淇淋制作成本的损失．根据大白去年的销售记录，得到去年同期该冰淇淋日销售量的频数分布表和频数分布直方图（不完整）如下：2014年8月该冰淇淋日销售量频数分布表 2014年8月该冰淇淋日销售量频数分布直方图
| 日销售量分组 | 频数 |
| 500≤x＜600 | 3 |
| 600≤x＜700 | 6 |
| 700≤x＜800 | 16 |
| 800≤x＜900 | 6 |
（1）请根据以上信息补全频数分布表和直方图，并标明相应数据；
（2）用含m的式子表示下个月销售该冰淇淋的日利润；
（3）大白认为，下个月该冰淇淋的销售状况将会与去年同期相差不多．
①请你通过计算帮助大白估计下个月销售该冰淇淋的日利润少于1200元的天数；
②为减少因当日冰淇淋未售出造成的损失，大白计划今年采取下班前打八折销售的方法，希望将剩余的冰淇淋售出．请你通过计算帮助大白估计下个月因销售该冰淇淋获得月利润的范围．
如图，在△ABC中，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠BAE=30°
如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N是分别位于公路AB两侧的村庄．设汽车行驶到点P时，离村庄M最近；汽车行驶到点Q时，离村庄N最近；汽车行驶到H点时，它到M、N两村庄的距离之和最短．请在图中公路AB上分别画出点P、Q的位置．
如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．