Question

3．（1）将两块等腰直角三角板AOB和COD按如图①放置，其中∠AOB=∠COD=90°，求证：AC=BD．
（2）将两块含30°的直角三角板AOB和COD按如图②放置，其中∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，求证：BD⊥AC．
（3）将图②的三角板OCD绕点O旋转到点C，D，B三点一线时如图③所示，若AB=14，CD=10，求sin∠AOC的值．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出OC=OD，OA=OB，再判断出∠AOC=∠BOD，即可得出△AOC≌△BOD即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质判断出$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}$，再判断出∠AOC=∠BOD，即可得出△AOC∽△BOD，即可得出∠CAO=∠DBO，最后用等量代换求出∠CAB+ABE=90°，即可；
（3）先利用（2）的结论求出BD=3，再利用含30°的直角三角形的性质得出OB=7，OD=5，最后用勾股定理求出DF即可得出结论．

解答 解：（1）∵两块等腰直角三角板AOB和COD，
∴OA=OB，OC=OD，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD；

（2）如图②，延长BD交AC于E，
在Rt△AOB中，∠OAB=30°，
∴AB=2OB，OA=$\sqrt{3}$OB，
同理：OC=$\sqrt{3}$OD，
∴$\frac{OC}{OA}=\frac{\sqrt{3}OD}{\sqrt{3}OB}$=$\frac{OD}{OB}$，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴∠CAO=∠DBO，
∴∠CAB+∠ABE=∠CAO+∠OAB+∠ABE=∠DBO+∠ABE+∠OAB=ABO+∠OAB=90°，
∴∠AEB=90°，
∴BD⊥AC；

（3）如图③，过点D作DF⊥OB于F，
由（2）知，BC⊥AC，△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{1}$，
∴AC=$\sqrt{3}$BD，
在Rt△ABC中，AB=14，BC=CD+BD=10+BD，
根据勾股定理得，BC²+AC²=AB²，
∴（10+BD）²+（$\sqrt{3}$BD）²=14²，
∴BD=-8（舍）或BD=3，
在Rt△AOB中，AB=14，∠OAB=30°，∴OB=7，
在Rt△COD中，CD=10，∠OCD=30°，∴OD=5，
在Rt△ACF中，DF²=BD²-BF²=BD²-（OB-OF）²=9-（7-OF）²，
在Rt△OCF中，DF²=OD²-OF²=25-OF²，
∴9-（7-OF）²=25-OF²，
∴OF=$\frac{65}{14}$，
∴DF=$\frac{15\sqrt{3}}{14}$，
∴在Rt△ODF中，sin∠AOC=sin∠DOF=$\frac{DF}{OD}=\frac{\frac{15\sqrt{3}}{14}}{5}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理；解（1）的关键是判断出∠AOC=∠BOD，解（2）的关键是判断出$\frac{OC}{OA}=\frac{OD}{OB}$，解（3）的关键是利用勾股定理求出线段的长．