Question

7．抛物线y=mx²-4m（m＞0）与x轴交于A、B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC=2OA．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PAC三个内角的角平分线的交点在x轴上？若存在，求P点坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0可得mx²-4m=0，解之可得；
（2）根据OA=2，OC=2OA得|-4m|=4，解之可得m的值，继而根据m＞0可知抛物线解析式；
（3）假设存在点P，使△PAC三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是∠PAC的角平分线，从而得知点C（0，-4）的对称点C′（0，4）在直线AP上，待定系数法可得直线AP的解析式，由直线AP的解析式和抛物线解析式可得点P的坐标．

解答 解：（1）根据题意知，y=0，即mx²-4m=0，
∴m（x+2）（x-2）=0，
解得：x=-2或x=2，
所以A（-2，0），B（2，0）；

（2）由（1）知OA=2，
∴OC=2OA，
∴OC=4，即|-4m|=4，
解得：m=1或-1，
∵m＞0，
∴m=1，
则抛物线解析式为y=x²-4；

（3）存在，
假设存在点P，使△PAC三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是∠PAC的角平分线．
∴C点关于x轴的对称点必在直线PA上．设为C'，
∵C（0．-4），
∴C'（0，4），
∴直线AP过A（-2，0）C'（0，4）得到AP的直线方程为y=2x+4，
直线AP与二次函数y=x²-4相交于P点，
∴2x+4=x²-4，
解得：x=4或-2，
当x=4时，y=12，
当x=-2时，y=0，即为点A，
∴存在一点P，使△PAC三个内角的角平分线的交点在x轴上，且点P的坐标为（4，12）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用解方程组求两个函数的交点坐标．