Question

13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）当$\frac{CE}{EB}$=$\frac{2}{3}$时，求$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$的值；
（2）当DE平分∠CDB时，求证：AF=$\sqrt{2}$OA；
（3）当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=$\frac{1}{2}$BG．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，依据△CEF和△CDF同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在直角△AOD中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是△BCD的中位线，然后根据△FGC是等腰直角三角形，易证△EGF∽△ECD，利用相似三角形的对应边的比相等即可．

解答 解：（1）∵$\frac{CE}{EB}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{CE}{CB}$=$\frac{2}{5}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{FD}$=$\frac{CE}{CB}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{2}{5}$；

（2）证明：∵DE平分∠CDB，
∴∠ODF=∠CDF，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，
而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$OA，
∴AF=$\sqrt{2}$OA；

（3）证明：连接OE．
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，
点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥CD，OE=$\frac{1}{2}$CD，
∴△OFE∽△CFD，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{OE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴$\frac{EG}{GC}$=$\frac{1}{2}$，
∵点E是BC的中点，
∴$\frac{CG}{GB}$=$\frac{1}{2}$，即CG=$\frac{1}{2}$BG．

点评 本题是正方形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，正确理解相关的性质定理和判定定理是解题的关键．