Question

已知一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m²．小明爸爸要在木板上截出一个面积最大的正方形桌面，请小明和小芳设计加工方案，小明的设计方案如图①，小芳的设计方案如图②．你认为哪位同学设计的方案符合要求？请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的应用,二次函数的最值

专题：

分析：利用三角形的面积求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，设正方形的边长为xm，图①根据相似三角形△CDE和△CBA对应边成比例列式求解即可；图②，先求出点B到AC边的距离，再根据相似三角形△ABC和△DBE对应高的比等于相似比列式求解即可．

解答：解：小明的设计方案符合要求．
理由如下：S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×1.5•BC=1.5，
解得BC=2，
由勾股定理得，AC=

AB2+BC2

=

1.52+22

=2.5，
设正方形的边长为xm，
如图①，∵正方形BFDE的边DE∥BF，
∴△CDE∽△CBA，
∴

CD

BC

=

DE

AB

，
即

2-x

2

=

x

1.5

，
解得x=

6

7

；
如图②，设点B到AC的距离为h，
则S_△ABC=

1

2

×2.5h=1.5，
解得h=1.2，
∵正方形BFDE的边DE∥GF，
∴△ABC∽△DBE，

h-x

h

=

DE

AC

，
即

1.2-x

1.2

=

x

2.5

，
解得x=

30

37

，
∵

30

37

m＜

6

7

m，
∴小明的设计方案符合要求．

点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，相似三角形对应高的比等于相似比的性质，读懂题目信息并熟记性质是解题的关键．