Question

我们知道（a+b）²展开后等于a²+2ab+b²，我们可以利用多项式乘法法则将（a+b）³展开．如果进一步，要展开（a+b）⁴，（a+b）⁵，你一定发现解决上述问题需要大量的计算，是否有简单的方法呢？我们不妨找找规律！如果将（a+b）ⁿ（n为非负整数）的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：

上表就是我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，而他是摘录自北宋时期数学家贾宪著作的《黄帝九章算法细草》中的“开方作法本源图”，因而人们把这个表叫做杨辉三角或贾宪三角，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡是1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．
（1）你能根据上表写出（a+b）⁴，（a+b）⁵的结果吗？
 （a+b）⁴=
 （a+b）⁵=
（2）请你利用“杨辉三角“求出下式的计算结果：
2⁴+4×2³×（-

1

3

）+6×2²×（

1

3

）²+4×2×（-

1

3

）³+（-

1

3

）⁴．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：阅读型

分析：（1）由题意可求得当n=1，2，3，4，…时，多项式（a+b）ⁿ的展开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，然后找规律，即可求得答案；
（2）把上边的式子逆用，其中a=2，b=-

1

3

，即可求解．

解答：解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；

（2）原式=（2-

1

3

）⁴=（

5

3

）⁴=

625

81

．

点评：此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．