Question

17．如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AB=6，求菱形的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABC是等边三角形，进而得出∠AEC=90°，四边形AECF是平行四边形，即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出AE的长，进而求出菱形的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠AEC=90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠AEC=90°，
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
所以，S_菱形ABCD=6×3$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了矩形的判定以及菱形的性质与面积求法，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．