Question

【题目】如图，在平面直角坐标系，点O是原点，直线y＝x+6分别交x轴，y轴于点B，A，经过点A的直线y＝﹣x+b交x轴于点 C．

（1）求b的值；

（2）点D是线段AB上的一个动点，连接OD，过点O作OE⊥OD交AC于点E，连接DE，将△ODE沿DE折叠得到△FDE，连接AF．设点D的横坐标为t，AF的长为d，当t＞﹣3时，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，DE交OA于点G，且tan∠AGD＝3．点H在x轴上（点H在点O的右侧），连接DH，EH，FH，当∠DHF＝∠EHF时，请直接写出点H的坐标，不需要写出解题过程．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）d＝6+2t；（3）H点的坐标为H1（10，0），H2（2，0）．

【解析】

（1）由y＝x+6求得A点坐标，再将A点坐标代入y＝﹣x+b中，便可求得b；

（2）过点D分别作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，过点F作FR⊥AF交AE于点R，可证明四边形ODFE为正方形，再△AOD≌△COE（ASA），用t表示AD，再△ADF≌△REF（AAS），进而用t表示AR，问题便可迎刃而解；

（3）分两种情况解答：第一种情况，当FH平分∠DHE时，连接OF，过E作EK⊥x轴于点K，用EL⊥y轴于点L，设正方形ODFE的外接圆交x轴于点H，证明△ODM≌△EOK（AAS），用t表示出EL，OL，再由tan∠AGD＝3，便可用t表示GN，GL，由OA＝6列出t的方程求得t，便可求得H点坐标；第二种情况，当∠DHF与∠EHF重合时，延长DE与x轴交于点H，求出DE与x轴的交点坐标便可．

解：（1）令x＝0，得y＝x+6＝6，

∴A（0，6），

把A（0，6）代入y＝﹣x+b中，得b＝6；

（2）令y＝0，得y＝x+6＝0，则x＝﹣6，

∴B（﹣6，0），

∵点D的横坐标为t，

∴D（t，t+6），

令y＝0，得y＝﹣x+6＝0，x＝6，

∴C（6，0），

∵OA＝OB＝6，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

同理∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠BAC＝90°，

在Rt△AOC中，AC＝，

过点D分别作DM⊥x轴于点M，DN⊥y轴于点N，

∵∠DMO＝∠MON＝∠OND＝90°，

∴四边形DMON为矩形，

∴DN＝OM＝﹣t，

在Rt△ADN中，∠DAN＝45°，AD＝﹣t，

∵∠AOD+∠AOE＝90°，∠COE+∠AOE＝90°，

∴∠AOD＝∠COE，

又∵∠OAD＝∠OCE＝45°，OA＝OC，

∴△AOD≌△COE（ASA），

∴OD＝OE，AD＝CE＝﹣t，

∵△DFE和△DOE关于DE对称，

∴DF＝OD＝0E＝EF，∠DFE＝∠DOE＝90°，

过点F作FR⊥AF交AE于点R，

∵∠AFD+∠DFR＝90°，∠RFE+∠DFR＝90°，

∴∠AFD＝∠RFE，

∵∠ERF＝∠RAF+∠AFR＝∠RAF+90°，

∠DAF＝∠RAF+∠DAR＝∠RAF+90°，

∴∠REF＝∠DAF，

∴△ADF≌△REF（AAS），

∴AF＝RF，AD＝RE＝，

∴∠FAR＝∠FRA，

又∵∠FAR+∠FRA═90°，

∴∠FAR＝∠FRA＝45°，

在Rt△AFR中，AR＝AC﹣CE﹣ER＝6+2t，

AF＝，

∴d＝6+2t；

（3）连接OF，过E作EK⊥x轴于点K，用EL⊥y轴于点L，设正方形ODFE的外接圆交x轴于点H，

∴∠DOM+∠ODM＝∠DOM+∠EOK＝90°，

∴∠ODM＝∠EOK，

∵∠OMD＝∠EKO＝90°，OD＝EO，

∴△ODM≌△EOK（AAS），

∴EK＝OM＝DN＝OL＝﹣t，LE＝OK＝DM＝6+t，

∵tan∠AGD＝3．DN＝﹣t，

∴，即，

∴GN＝，GL＝，

∴OA＝OL+GL+GN+AN＝﹣t+，

∵OA＝6，

∴﹣2t+2＝6，

∴t＝﹣2，

∴AF＝6+2t═2，

∵OF是正方形ODFE的外接圆的直径，

∴FH⊥x轴，∠DHF＝∠DOF＝∠EOF＝45°＝∠EHF

∴H（2，0），此时满足条件；

如图3，延长DE与x轴交于点H，则∠DHF＝∠EHF，

由上知D（﹣2，4），E（4，2），

设直线DE的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则

，

∴，

∴直线DE的解析式为：，

当y＝0时，得，

解得，x＝10，

∴H（10，0），

综上，H点的坐标为H1（10，0），H2（2，0）．