Question

10．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以$\sqrt{2}$个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，△APQ是直角三角形？
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，当△BOP与△MBQ相似时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）先求出∠QAP=45°，再分两种情况用锐角三角函数计算即可；
（3）先判断出四边形PEFQ是平行四边形，对边相等建立方程求解即可；
（4）先求出MB=$\sqrt{2}$，然后分两种情况用相似三角形得到比例式，建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-x²+2x+3，
（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°． 
如图①所示：

∠PQA=90°时，
设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t． 
在Rt△PQA中，cos∠QAP$\frac{QA}{PA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$\frac{\sqrt{2}t}{3-t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=1； 
如图②所示：

∠QPA=90°时，
设运动时间为t秒，则QA=$\sqrt{2}$t，PA=3-t．  
在Rt△PQA中，cos∠QAP=$\frac{PA}{QA}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$\frac{3-t}{\sqrt{2}t}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$． 
综上所述，当t=1或t=$\frac{3}{2}$时，△PQA是直角三角形； 
（3）如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），
则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3），
则FQ=3t-t²． 
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴四边形PEFQ是平行四边形，
∴EP=FQ．即：3-t=3t-t²． 
解得：t₁=1，t₂=3（舍去）． 
将t=1代入F（3-t，-（3-t）²+2（3-t）+3），
得点F的坐标为（2，3）． 
（4）如图④所示：

设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t）$\sqrt{2}$． 
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点M的坐标为（1，4）． 
∴MB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$． 
当△BOP∽△QBM时，$\frac{MB}{OP}=\frac{BQ}{OB}$，
即：$\frac{\sqrt{2}}{t}=\frac{（3-t）\sqrt{2}}{3}$，
整理得：t²-3t+3=0，
△=32-4×1×3＜0，无解：
当△BOP∽△MBQ时，$\frac{BM}{OB}=\frac{BQ}{OP}$，
即：$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{（3-t）\sqrt{2}}{t}$，
解得t=$\frac{3}{4}$． 
∴当t=$\frac{3}{4}$时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的意义，解本题的关键是建立方程求解．